Utilidad y Preferencias

INTRODUCCION

CONJUNTOS DE OPORTUNIDADES DE MERCADO

PRECIOS ABSOLUTOS, RELATIVOS Y EL NUMERARIO

ORDEN DE PREFERENCIAS

FUNCION DE UTILIDAD

CONVEXIDAD DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

DIFERENCIABILIDAD DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA


INTRODUCCION


CONJUNTOS DE OPORTUNIDADES DE MERCADO

  1. Acotado por abajo por la restricción de no negatividad de x1 y por arriba por la restricción presupuestaria dado que el ingreso monetario es finito y ningún precio es cero o negativo (bienes escasos). Si el precio de x1 es cero, la restricción presupuestaria sería una recta paralela al eje x1 y que pasa por el punto x20 = I/p2 y el conjunto de oportunidades sería ilimitado por la derecha ya que x1 sería un bien libre y el consumidor dispondría de tanto como quisiera.
  2. Cerrado, ya que cualquiera combinación de bienes sobre la recta o sobre los ejes de las cantidades es alcanzable.
  3. Convexo, ya que para 2 combinaciones cualquiera P0 y P1 del conjunto de oportunidades, cualquiera combinación que se halle en la línea recta que las une también estará en el conjunto de oportunidades y no costará más del todo del ingreso del consumidor.
  4. No-Vacío, dado que I > 0 y al menos un precio es finito y el consumidor puede comprar una cantidad positiva de al menos un bien.

 


PRECIOS ABSOLUTOS, RELATIVOS Y EL NUMERARIO

  1. Un precio es una relación de intercambio.
  2. En las economías de trueque (los bienes se cambian por bienes), el precio reflejaría la proporción física en la cual se intercambian los bienes heterogéneos. Este sistema, no minimiza las necesidades de información, ya que si por ejemplo hay 4 bienes (a, b, c y d), las relaciones de intercambio que se necesitan conocer son 6 como se ve en la siguiente matriz :
      1.  

        a

        b

        c

        d

        a

        1

        x

        x

        x

        b

         

        1

        x

        x

        c

           

        1

        x

        d

             

        1

  3. La tasa de cambio de un bien por sí mismo es igual a 1 y si se sabe la de a por b, también se sabrá la de b por a. A pesar de ello si se tendría que precisar los precios relativos.
      1. I = p1 × x1 + p2 × x2

        aplicamos diferencial total

        dI = p1 × dx1 + p2 × dx2 = 0

        (pend. rest. presup o precio relativo)

        Con n bienes habría tasas de cambio o precios relativos.

  4. Para simplificar los cálculos se puede adoptar un bien como unidad de cuenta o numerario y especificar el precio de los demás en relación a él. Si por ejemplo, se hace al a numerario, los precios que habría que conocer se reducen a 3 y cada uno de ellos nos diría cuántas unidades de a habría que entregar para obtener cada uno de los bienes restantes.


ORDEN DE PREFERENCIAS

      Consideremos el siguiente ejemplo : El orden de un resultado de un examen : Macarena fue primera, Javier segundo y Cristián y Pablo tercero y así sucesivamente. La única diferencia entre este orden y nuestro enfoque está en el supuesto en que todos los bienes son infinitamente divisibles, es decir, hay un número infinito de posibilidades (canastas de consumo) que pueden ser ordenadas, por lo tanto, se puede formular en términos de comparación entre pares de canastas.

      Supuestos

      Comparación : para cada par de canastas de consumo técnicamente asequibles, descritas por los vectores x0 y x1, una y sólo uno de lo siguiente debe ser verdadero :

      x0 > x1

      x1 > x0

      x0 » x1

      Transitividad : si x2 es al menos tan bueno como x1 y x1 es al menos tan bueno como x0, luego x2 debe ser al menos tan bueno como x0.

      Reflexividad : para cumplir íntegramente con la completitud, se puede suponer explícitamente que x1 es al menos tan bueno como si mismo.


FUNCION DE UTILIDAD

La asignación de un número o un índice de utilidad U(x) a cada canasta de consumo x, es sólo la expresión del orden de preferencias. El decir que Uxi) > U(xj) significa que xi es preferido a xj y U(xi) » U(xj) significa que el consumidor es indiferente entre aquellas canastas.

Para que el orden de preferencias pueda ser representado por una función de utilidad se necesita un supuesto adicional. El Orden Lexicográfico se refiere a : x0 es preferido a x1 si entrega una mayor cantidad del bien x1 independientemente de cuanto del bien x2 se tenga, pero si se entrega la misma cantidad del bien x1 es preferido si entrega más del bien x2.

Para comprender el supuesto anterior se requiere plantear el supuesto de Continuidad. Consideramos el conjunto de todas las canastas x que son tan buenas como cualquiera canasta x0. Este conjunto es cerrado (es decir, incluye todos los puntos de sus límites). Ahora consideramos el conjunto de todas las canastas x tal que la misma canasta x0 es tan buena como aquellas. Este conjunto también es cerrado. Este supuesto se cumple para cualquier canasta x0.

La curva de indiferencia se define como una línea geométrica que une a todos los vectores x que presentan la siguiente propiedad :

U(x) = constante

Por ejemplo, si hay dos bienes, x = (x1, x2) la curva de indiferencia se puede representar :

U(x1, x2) = constante

No hay diferencia en cuanto a los números que se asignen a cada canasta o a cada curva de indiferencia, sólo se requiere que si una canasta es más preferida a otras, obtenga un número mayor, por lo tanto, si se tiene cualquier sistema de numeración U(x), también se puede utilizar cualquier otro sistema W(x) que implique que si U es mayor para una canasta que para otra, W también será mayor.

Lo anterior se debe plantear de la siguiente manera : U1 - U0 = U2 - U1, es decir, la ganancia de moverse de un estado 0 a 1 es igual a la ganancia de moverse de un estado 1 al 2. Por lo tanto, si se requiere utilizar a W como un indicador de utilidad equivalente, se debe asegurar que : W1 - W0 = W2 - W1. Si ƒ(U) es cualquiera transformación creciente de U se requiere restringir ƒ(U) a ser una transformación lineal creciente : W = a + b × U ; en donde a y b pueden tomar valores finitos (b > 0). Es posible restringir el término transformación lineal a transformaciones proporcionales de la forma W = b × U y referirse a la transformación W = a + b × U como equivalente.

La función de utilidad es Ordinal si se puede reemplazar por cualquira transformación estrictamente creciente de si misma y es Cardinal si se puede reemplazar sólo por una transformación lineal creciente de si misma.

Para comprobar lo anterior :

W = ln U no satisface el requerimiento de cardinalidad, es decir si U1 - U0 = U2 - U1; sin embargo : W1 - W0 ¹ W2 - W1

W = a + b × U si satisface el requerimiento de cardinalidad.

No se requiere una medida cardinal de la utilidad para explicar la conducta del consumidor, dado que sólo interesa el orden de preferencias. Desde el punto de vista de la economía positiva se restringe el concepto de utilidad a un indicador de orden que puede ser utilizado en cualquiera transformación creciente.

La curva de demanda compensada tiene pendiente negativa : Este supuesto es razonable (principio de no saciedad o no saturación), dado que más de un bien implicará una mayor satisfacción. Sin embargo, puesto que de esa forma parece una tautología. Por ejemplo, algunas personas prefieren el silencio y otras no. Todo lo que se supone es que aquellos que les gusta el silencio prefieren más de él a menos (más es preferido a menos) y los que no prefieren el silencio prefieren menos a más. En realidad, algunas cosas como el ocio son un bien hasta un cierto punto.

Suponemos lo siguiente :

Si x = (x1, x2) y x1 y x2 son bienes, x0 es preferido a x’ sí :

x10 > x1’ y x20 = x2

ó x20 > x2’ y x10 = x1

en cada caso x0 domina a x’. En términos de utilidad U(x10, x20) > U(x1’, x2’) si esas condiciones se satisfacen.

Hasta el momento hemos asumido que el consumidor gasta todo su ingreso en comprar bienes e incurre en costos marginales positivos. Esto no incluye ahorro y para este enfoque se supone como un bien económico (véase consumo intertemporal : decisión de consumo presente versus consumo futuro).

Este supuesto de dominancia entrega información sobre la forma de las curvas de indiferencia. Si se considera la canasta x0 en este gráfico , donde claramente todos los puntos en el área a son mejores que x0 y los del área b son peores que x0, por lo tanto, la pendiente de la curva que pasa por x0 debe ser de inclinación negativa.

Suponemos que un individuo que compra bienes en un mercado normal, en donde compra una cantidad ilimitada de cada bien a un precio fijo por unidad (enfrenta ofertas perfectamente elásticas).

Véase equilibrio del Monopsonio (situación de mercado en donde sólo hay un solo comprador para un bien determinado) en el punto

El individuo recibe del mercado de factores un ingreso monetario por su trabajo.

¿Cómo respondería ante un aumento en el precio del bien x1 (dp1 > 0) acompañado de un aumento en el ingreso suficiente (dI > 0) para mantener su nivel de utilidad original ?

Comenzamos el análisis en la posición inicial, su conjunto de oportunidades de consumo económicamente asequible es 0AB, se sabe por el supuesto de Dominancia (más es preferido a menos) que el consumo sobre AB, es por ej. x0. Ahora si dp1 > 0 (pequeña variación), pero el ingreso del consumidor es compensado tal que queda inalterado. Si su consumo de x1 sólo cambió un poco (cambio infinitesimal), la compensación que se requiere deberá ser suficiente para permitirle comprar su canasta original. Si el consumo de x1 se reduce considerablemente, él no requiere una gran compensación y su nueva recta presupuestaria estará a la izquierda de x0. Por lo tanto, la nueva recta presupuestaria es A’B’ . ¿En qué lugar se ubicará el nuevo óptimo?

El supuesto de Consistencia requiere que se ubique en el segmento x0B’, en la nueva situación, las posiciones sobre x0A no están disponibles, excepto el punto x0, mientras que x0B está dominado por x0 B’ , por lo tanto, el punto de consumo óptimo debería estar entre x0 y B’ o excepcionalmente en x0 o B’. El efecto de ingreso compensatorio del dp1 > 0 es generar una caída en el consumo de x1 o dejarlo inalterado.

Se deben plantear los siguientes supuestos :

i. el consumidor es indiferente entre x0 y x’ es decir, U(x0) » U(x’)

ii. elige x0 cuando el precio es p0 y su ingreso p0 × x0

iii. elige x’ cuando el precio es p’ y su ingreso es p’ × x’

De ii se infiere que cuando los precios son p0, x’ será tan caro como x0, dado que si fuese más barato, el consumidor lo habría elegido en lugar de x’.

Por lo tanto,

Entonces : (1)

De iii. se infiere que cuando los precios son p’, x0 debe ser al menos tan caro como x’, dado que si fuese más barato debería haber elegido a x’ en lugar de x0.

Por lo tanto,

Entonces : (2)

Luego, sumando las ecuaciones (1) y (2), se tiene :

Si sólo p1 cambia se tiene :

Por lo tanto, si dp1 > 0 , x1 disminuye o se mantiene inalterado.

El Efecto Sustitución de un aumento (dp1 > 0) [compensatorio del ingreso] en p1 es un cambio negativo en x1 (dx1 < 0) o equivalentemente la curva de demanda compensada que grafica la demanda de x1 a medida que p1 cambia con la utilidad constante, tiene pendiente negativa es vertical u horizontal.

La curva de demanda compensada es el lugar geométrico de las demandas por x1 a medida que p1 cambia, graficado por un punto de tangencia entre una recta presupuestaria y una curva de indiferencia.

El gráfico anterior presenta el caso en donde la curva de indiferencia es estrictamente convexa respecto al origen (es decir es convexa y no tiene segmentos con líneas rectas ) y tiene derivadas bien definidas en todos sus puntos (no presenta saltos discontinuos). Sin embargo, se puede tener curvas de indiferencia que no tengan estas propiedades que igualmente generan demandas compensadas con pendiente negativa (véase próximo gráfico).

En este segundo ejemplo, la curva de indiferencia es en algunos lugares cóncava respecto al origen, sin embargo, el consumidor se comporta como si fuese convexa respecto al origen, es decir, no se encontrará consumiendo en cualquier parte, como en el punto x4, que está tanto en el interior del conjunto técnicamente alcanzable (xi > 0 , " i) y tiene curvas de indiferencia localmente no convexas.

Para demostrar lo anterior, se grafica una recta presupuestaria tangente a U0 en el punto x14. De los supuestos (1) y (2), más una elección consistente se concluye lo siguiente :

En cualquier punto en donde se consume, las curvas de indiferencia deben ser convexas respecto al origen, excepto :

- consumos en los puntos límites en donde x1 o x2 son igual a o (concavidad respecto al origen es posible en esos puntos) y

- consumos en mercados que no son normales (i.e. Monopsonio)

Monopsonio es una situación de mercado en la cual existe un sólo consumidor cuya importancia en el mercado del bien es tal que puede, con cambios en el volumen de sus compras afectar el precio de los bienes (enfrenta una oferta por el bien con pendiente positiva, no perfectamente elástica como en el supuesto original). En este caso, se relaja el supuesto en cuanto a que los consumidores son tomadores de precios (enfrentan funciones de exceso de oferta de los bienes que compran con elasticidades menores que infinito). Así, la recta presupuestaria será cóncava respecto al origen, indicando que la tasa marginal de sustitución de mercado es creciente (al aumentar el volumen de compras relativas de x1, aumenta el precio relativo de éste).

El equilibrio se obtiene cuando se cumplen las siguientes condiciones :

(1) I = x1 × p1 + x2 × p2

(2)

Para obtener (pendiente de la recta presupuestaria) se debe recordar que ahora los precios no son constantes, sino un función de las cantiades compradas; x1 = ƒ(p1) y x2 = ƒ(p2).

La diferencial de la recta manteniendo constante el ingreso monetario es :

Si los consumidores fueran en general monopsonistas respecto de todos los bienes que consumen no habría razón para exigir que las curvas de indiferencia sean convexas respecto al origen (TMS decreciente), ello, porque con curvas de indiferencia con una menor concavidad que la recta, el consumidor no se especializaría en el consumo de ningún bien (no habría soluciones esquina) y se satisface ambas ecuaciones (1) y (2).


CONVEXIDAD DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

Aún se tiene un problema que se observa en el gráfico anterior. En el precio p11, la demanda es indeterminada. Para comprender ésto e imponer la condición de diferenciabilidad sobre la función de demana, se supone que la curva de indiferencia es estrictamente convexa respecto al origen en todos sus puntos.

Curvas de indiferencia son convexas respecto al origen en todos sus puntos : vector (x0, x’) para lo cual : U(x0) » U(x’)

U[l × x0 + (1 - l ) × x’] > U(x0) » U(x’) " l (0 < l < 1)

Esta función de utilidad se denomina estrictamente cuasi-cóncava, vale decir, a mayor cantidad de agua, menor será la cantidad de diamantes que se estará dispuesto a intercambiar por una cantidad adicional de agua.

Concavidad : se puede comenzar con una función univariada ƒ(x). Esta función es cóncava si se observa por arriba. Piénsese en la parte cóncava de una represa (o dique). Si la represa es estrictamente cóncava, un puente recto pude ser construído uniendo cualquiera de 2 puntos de la represa como los puntos P0 y P1 del gráfico.

El punto R está bajo el punto S, pero ambas están sobre el eje horizontal que corresponde a x = × x0 + × x1.

Por lo tanto :

altura de S es : ƒ(× x0 + × x1)

altura de R es :

ƒ(x0) +

Por lo que : ƒ(× x0 + × x1) > × ƒ(x0)+ × ƒ(x1)

Esto significa que el valor de la función del promedio ponderado es mayor al promedio del valor de la función. La definición general, reemplazando 1/3 por l ) se puede reescribir como :

La función ƒ(x) es cóncava ssí : , " x0, x1, l (entre 0 y 1). Concavidad estricta se requiere que la desigualdad ( > ).

Esta definición la podemos aplicar tanto a valores unidimensionales (x) como a vectores en dos dimensiones (x1, x2) o en n dimensiones. En el caso particular bivariado :

En este caso, el valor de la función sobre la línea l × x0 + (1-l ) × x1 es mayor al promedio ponderado de las alturas en x0 y x1. Si una función estrictamente cuasi-cóncava presenta un máximo local, también tiene un máximo global.

Cuasi-concavidad : sólo se puede considerar el efecto de promediar en relación a 2 vectores x0 y x1 , (la función de ambos vectores es equivalente).

En este caso :

Dado que la función de los vectores x0 y x1 tiene el mismo valor. Todo lo que se sabe de la desigualdad es que la iso-curva ƒ para ƒ(x1, x2) es convexa respecto al origen. ƒ(x) es cuasicóncava ssi : " x0, x1 , 0 < l < 1, para lo cual se requiere que ƒ(x0) = ƒ(x1).


DIFERENCIABILIDAD DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

La función de utilidad consistente tiene primera y segunda derivadas bien definidas, es decir, es dos veces diferenciable.

Este supuesto elimina a los casos en los que la pendiente de una superficie o curva de indiferencia da un "salto". Pequeños cambios (disminuciones) sucesivos en x1 que son compensadas por pequeñas variaciones positivas en x2 son suficientes para permanecer sobre la curva de indiferencia inicial. Definiremos una secuencia de cambios como : x1 d1× x1, d2× x1 y una secuencia de cambios en x2 : x2, d1× x2, en relación a la curva de indiferencia.

El cuociente de cambios en x1 y x2 se define como : y se puede interpretar como una tasa requerida de compensación, cuyo valor absoluto aumenta a medida que nos movemos hacia la izquierda de la curva.

 

 


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