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Equações Polinomiais

Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma:
P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0.

Teorema Fundamental da Álgebra

Toda a equação algébrica P(x) = 0 de grau n > 0, admite pelo menos uam raiz real ou complexa
OBS:
Equações de 5º grau ou maiores não possuem fórmulas para a sua solução direta.

Teorema da Decomposição

Todo o polinômio de grau n tem exatamente n raízes reais e com plexas.
Demonstração
Pelo teorema fundamental, P(x) tem pelo menos uma raiz. Seja ela r1. Logo:
P(x) = (x - r1) . Q(x)
Q(x) é um novo polinômio de grau n-1, que possui, também, pelo menos uma raiz. Seja ela r2. Logo:
Q(x) = (x - r2) . Q1(x)
Fazendo o mesmo procedimento com q1(x) e continuando até a n-ésima expressão temos
Qn-1(x) = (x - rn) . Qn(x)
Em Qn o grau do polinômio será zero e Qn será igual a uma constante que chamamos de an
Substituindo todas as equações obtidas na decomposição de P(x), teremos:
P(x) = an.(x-r1).(x-r2). ... (x-rn)
Exemplo:
Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4
Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma:
P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)
Fazendo an = 1, temos que:
P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)
P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8

Multiplicidade de uma raiz

Quando ao decompormos P(x) uma mesma raiz ocorre mais de uma vez a denominamos de raiz múltipla de P(x).
Exemplo:
Se P(x) = (x-1)2.(x-3)
Dizemos nesse caso que das 3 raízes de P(x), a raiz 1 tem multiplicidade 2 enquanto que 3 é uma raiz simples

Teorema das raízes complexas

Se uma equação P(x) = 0 ,de coeficientes reais, apresentar uma raiz complexa (a+bi), podemos afirmar que o seu conjugado (a-bi) também será raiz de P(x), e com a mesma multiplicidade.
Consequência
Num polinômio P(x) com coeficientes reais e grau ímpar há, no mínimo, uma raiz real
Exemplo:
Calcular as raízes da equação:
x4 - x3 - 5x2 + 7x + 10 = 0,
sabendo que (2+i) é uma das raízes

Se (2+i) é uma das raízes, o seu conjugado (2-i) também é raiz da equação. Usando a forma:
P(x) = (x-r1).(x-r2).Q(x) = 0
temos que:
P(x) = [x - (2+i)].[x - (2-i)].Q(x) = 0
P(x) = [(x-2) + i]. [(x-2) - i].Q(x) = 0
P(x) = [(x-2)2 - i2].Q(x) = 0
P(x) = [(x2 - 4x +4) - (-1)].Q(x) = 0
P(x) = (x2 - 4x + 5).Q(x) = 0
Como o polinômio dado é de grau n=4 e sabemos, agora, que é divisível por x2 - 4x + 5, restam duas raízes a se descobrir. Essas raízes produzem um polinômio do tipo ax2 + bx + c.
Assim, podemos dizer que:
x4 - x3 -5x2 + 7x + 10 = (x2 - 4x + 5).(ax2 + bx + c)
ou ainda que:
x4 - x3 -5x2 + 7x + 10 =ax4 + (b-4a)x3 + (c - 4b + 5a)x2 + (-4c + 5b)x + 5c
Igualando os termos correspondentes temos que
a = 1
b - 4a = -1 , logo b=3
c - 4b + 5a = -5 , logo c =2
Logo Q(x) = x2 + 3x + 2
Fazendo Q(x) = 0, temos que x1 = -2 e x2 = -1
Assim, as raízes da equação são S = { -2, -1, 2+i, 2-i}

Relações de Girard

São chamadas as relações estabelecidas entre raízes e coeficientes de uma equação algébrica.
Consideremos a equação algébrica:
(I) anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0
Se fizermos a decomposição polinomial obteremos:
(II) anxn + (r1+r2+...+rn)xn-1 + (r1r2+r1r3+...+rn-1rn)xn-2 + ... + (-1)nanr1r2...rn
Igualando-se (I) e (II) , temos que:
r1 + r2 + .... + rn = - an-1 / an
r1r2+r1r3+ ... + rn-1rn = an-2 / an
.......................................
r1r2 ..... rn = (-1)n . a0 / an
Exemplo:
Determinar as relações entre as raízes e os coeficientes da equação
2x3 - 4x2 + 6x + 10 = 0
Temos que
n = 3
an = a = 2
an-1 = b = -4
an-2 = c = 6
an-3 = d = 10
Pelas relações de Girard, temos que:
Soma das raízes: -b /a = 4/2 = 2
Soma dos produtos 2 a 2: c/a = 6/2 = 3
produto das raízes: (-1)3. d/a = -10/2 = -5

Raízes Racionais

Seja a equação polinomial de coeficientes inteiros:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0, com a diferente de 0
Se o racional p/q, (p e q primos entre si) é raiz dessa equação, então: p é divisor dea0 e q é divisor de an.
Demonstração
Como p/q é raiz da equação, temos que
an(p/q)n + an-1(p/q)n-1 + ... + a1(p/q) + a0 = 0
Multiplicando ambos os membros por qn, temos:
an.pn + an-1.pn-1.q + ... + a1.p.qn-1 + a0.qn = 0
Isolando anpn e colocando q em evidência temos
(I) anpn = -q(an-1pn-1 + ... + a1pqn-2 + a0qn-1
Por outro lado, isolando a0qn e colocando p em evidência, temos
(II) a0qn = -p(anpn-1 + an-1pn-2.q + ... + a1qn-1
Como todos os coeficientes a0, a1, ..., an, assim como p e q são inteiros, os valores de k e l, por exemplo, também são inteiros, logo de (I) e (II), temos que:
anpn = -q. k ou seja, anpn / q = -k
a0qn = - p.l, ou seja a0qn / p = -l
Então
anpn é divisível por q.Como pn e q são primos entre si, logo an é divisível por q.
Da mesma forma, a0qn é divisível por p. Como qn e p são primos entre si, logo a0 é divisível por p.
OBS
O teorema não nos garante a existência de raízes racionais de uma equação de coeficientes inteiros. Apenas, em caso de existirem raízes racionais, ele nos mostra todas as possibilidades de tais raizes.
Exemplo:
Resolver a equação x3 - 5x2 + 9x - 5 = 0
Pesquisemos alguma raiz racional, sabendo que:
p pertence a {+1, -1, +5, -5} e q pertence {+1, -1}, onde
p/q pertence {+1, -1, +5, -5}
Logo
f(1) = 0, f(-1) = -20, f(5) = 40, e f(-5) = -300
Então a única raiz inteira da equação é 1
Então
(x3 - 5x2 + 9x - 5) / (x-1) = x2 - 4x + 5
Calculando as outras duas raízes, temos que, se x2 - 4x + 5 = 0 as raízes são:
x1 = 2 - i e x2 = 2 + i
Finalmente, o conjunto solução será:
S = { 1, 2+i, 2-i}
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